Περί μελέτης των πρώτων αριθμών

Η μελέτη των πρώτων αριθμών

Οι πρώτοι 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...... είναι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί που δεν έχουν άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και την μονάδα. Για τεχνικούς λόγους είναι προτιμότερο να μη θεωρούμε τον 1 ως πρώτο. Έτσι ο 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ οι 9=3x3 , 8=2x4 , 35=5x7 κ.λ.π. δεν είναι πρώτοι.

Αν συνεχίσουμε να παραγοντοποιούμε έναν αριθμό, στο τέλος θα καταλήξουμε σε πρώτους που δεν επιδέχονται περαιτέρω ανάλυση.

Π.χ. 100=10x10=(2x5)x(2x5)=2x2x5x5     ή      100=4x25=2x2x5x5

Παρατητούμε ότι τα τελικά αποτελέσματα είναι ίδια. Το γεγονός ότι αυτό συμβαίνει πάντα, αποδείχθηκε πριν από 2 χιλιάδες χρόνια από τον Ευκλείδη, ενώ είναι αξιοσημείωτο ότι μια απλούστερη απόδειξη ανακαλύφθηκε πρόσφατα. Τέτοιες ιδέες που απασχόλησαν πριν από 2 χιλιετίες τους αρχαίους Έλληνες δεν  έπαψαν να μαγεύουν τους μαθηματικούς μέχρι και σήμερα.

Αυτό όμως που είναι και το πιο συναρπαστικό είναι πως παρά την απλότητα των ακεραίων και των πρώτων αριθμών, είναι εύκολο να διατυπωθούν για αυτούς σαφείς ερωτήσεις για τις οποίες κανείς μέχρι σήμερα δεν έδωσε απάντηση, ακόμη κι αν ασχολήθηκαν με αυτούς οι καλύτεροι μαθηματικοί του κόσμου.

Ίσως το πιο μυστηριώδες σχετικά με τους πρώτους είναι ότι μοιάζουν να είναι τυχαία διασκορπισμένοι. Παρουσιάζουν δηλαδή μια μορφή τυχαιότητας, αφού οι τοπικές λεπτομέρειες της κατανομής τους δεν παρουσιάζουν κάποια ορατή τάξη, παρ'όλο που μπορούμε να τους υπολογίσουμε έναν προς έναν. Έτσι το μέγεθος των κενών μεταξύ των πρώτων μοιάζει να κατανέμεται με αυθαίρετο τρόπο. Ή για παράδειγμα μοιάζει να υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι, διαδοχικοί δηλαδή περιττοί που τους χωρίζει ένας μόνο άρτιος. Τα υπολογιστικά δεδομένα είναι αρκετά πειστικά, κανένας όμως μέχρι τώρα δεν κατόρθωσε να το αποδείξει.

Επίσης, υπάρχουν τουλάχιστον τρεις διαφορετικές αποδείξεις (Ευκλείδης, Όϊλερ κ.α.) για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ωστόσο με όποιον τρόπο και αν το κάνουμε, αργά ή γρήγορα, θα καταλήξουμε σε προτάσεις που αποτελούν απλές εικασίες, που κανένας δεν κατόρθωσε να αποδείξει. Με άλλα λόγια, καταλήγουμε σε ερωτήματα που ουσιαστικά κανείς δεν ξέρει να απαντήσει.

Και όμως, πολλοί νέοι φοιτητές των μαθηματικών εργάζονται πυρετωδώς σε αυτά τα προβλήματα, ελπίζοντας ότι θα πετύχουν εκεί που οι άλλοι απέτυχαν. Και δεν αποκλείεται να τα καταφέρουν. Ή τουλάχιστον να βρουν κάτι ενδιαφέρον στα μισά του δρόμου, έστω κι αν δε φτάσουν μέχρι το τέλος. Μια φρέσκια ματιά είναι πάντα καλύτερη. Μάλιστα, μερικές φορές είναι προτιμότερο να μη γνωρίζουμε τι έχουν κάνει οι άλλοι, ειδικά αν έχουν πάρει έτσι κι αλλιώς λάθος δρόμο.

Τέτοιου είδους μαθηματικές ανακαλύψεις συμβαίνουν, αν και όχι συχνά, όπως για παράδειγμα η πρόσφατη ανακάλυψη ενός αλγορίθμου με τον οποίο μπορούμε να ελέγξουμε πολύ γρήγορα αν ένας αριθμός είναι πρώτος, από δύο φοιτητές και τον καθηγητή τους στην Ινδία.

Από την άλλη μεριά όμως οι πρώτοι αριθμοί είναι μια ενδεδειγμένη έννοια; Πόσα από τα μαθηματικά που χρησιμοποιούμε είναι όντως ουσιαστικά και πόσα αποτελούν απλώς συνήθεια; Ίσως, για παράδειγμα, αντί για τους πρώτους αριθμούς, θα έπρεπε να ασχοληθούμε με το αντίθετο, με τους αριθμούς μεγίστης διαιρετότητας.

Ο κατεξοχήν διαισθητικός μαθηματικός Ραμανουτζάν είχε καταλήξει σε μια τέτοια έννοια.

Συνεπώς, πόσο αναπόφευκτες είναι οι έννοιες που χρησιμοποιούμε σήμερα; Αν η ιστορία των Μαθηματικών ξαναπαιζόταν από την αρχή, θα εμφανίζονταν ξανά οι πρώτοι αριθμοί ή οι αριθμοί μεγίστης διαιρετότητας, οδηγώντας τους περισσότερους μεγάλους μαθηματικούς να μελετούν σήμερα αυτούς. Τίποτα δεν είναι βέβαιο.

Όπως είχε πει και ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Πουανκαρέ: "Υπάρχουν προβλήματα που κάποιος τα θέτει και προβλήματα που τίθενται από μόνα τους"

Σε ποια άραγε κατηγορία ανήκει η μελέτη των πρώτων αριθμών; 

Βιβλιογραφία: Μετά-Μαθηματικά, Gregory Chaitin