Παρασκευή, 22 Απριλίου 2016

Nα πιστεύετε τα μισά απ' όσα βλέπετε (και τίποτα απ' όσα ακούτε)

Ο Kokichi Sugihara είναι καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Meiji στο Τόκιο και ανέπτυξε ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή για γραμμικά σχέδια δύο διαστάσεων και τρισδιάστατα αντικείμενα. Το πρόγραμμα αυτό του έδωσε τη δυνατότητα να δημιουργεί απίστευτες οφθαλμαπάτες που μπερδεύουν τον εγκέφαλο όσων τις βλέπουν.

Ο μαθηματικός από την Ιαπωνία έχει εργαστεί επίσης στην κατασκευή μιας οφθαλμαπάτης που δείχνει να αψηφά τη βαρύτητα. Αυτή η οφθαλμαπάτη, που την κατασκεύασε πριν από κάποια χρόνια, εντυπωσιάζει το διαδίκτυο καθώς δείχνει 4 ράμπες και κάποια ξύλινα μπαλάκια που μοιάζουν να κυλούν προς τα επάνω κι όχι προς τα κάτω. Φυσικά αυτό είναι ένα τέχνασμα, αλλά η επίδειξη που κάνει στο βίντεο ο καθηγητής δείχνει ότι ο τρόπος με τον οποίο το παρουσιάζει είναι εξίσου έξυπνος με την ίδια την κατασκευή.

 Αυτή η κατασκευή είναι αποτέλεσμα του προγράμματος με το οποίο επεξεργάζεται τα γραμμικά σχέδια και στη συνέχεια φτιάχνει τα τρισδιάστατα αντικείμενα και τις εντυπωσιακές οφθαλμαπάτες. Όπως λέει ο ίδιος, «ανακάλυψα ότι μερικά αντικείμενα δεν είναι στην πραγματικότητα αδύνατα (να κατασκευαστούν). Μπορούν πραγματικά να κατασκευαστούν ως στερεά στον τρισδιάστατο κόσμο».

Όσον αφορά το συγκεκριμένο αντικείμενο, ο μαθηματικός λέει ότι ο εγκέφαλος του ανθρώπου είναι εύκολο να μπερδευτεί και να κάνει τον καθένα να νομίζει ότι οι ράμπες είναι αντίθετα τοποθετημένες απ’ ό,τι στην πραγματικότητα είναι. «Επειδή οι εικόνες που προβάλλω δεν περιέχουν πληροφορίες σχετικά με το βάθος και ο εγκέφαλος πρέπει να μαντέψει εισάγοντας πρόσθετες πληροφορίες, όπως τη συμμετρία γι’ αυτό γίνεται το λάθος», είπε Kokichi Sugihara.

Ο μαθηματικός έχει δημιουργήσει με αυτή την τεχνική και το πρόγραμμά του πάνω από 100 ψευδαισθήσεις, με αυτήν που θα δείτε στο βίντεο να είναι μια από τις πιο εντυπωσιακές ομολογουμένως.

 Στην αρχή του βίντεο θα νομίζετε ότι υπάρχει κάποιος μαγνήτης που τραβάει τα μπαλάκια προς το επάνω μέρος της μπάρας, αλλά στο τέλος θα καταλάβετε πού οφείλεται αυτό.
Δείτε το εντυπωσιακό παιχνίδι του μυαλού...

Δευτέρα, 18 Απριλίου 2016

Πόσα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π χρησιμοποιεί η ΝΑΣΑ;



Ρώτησαν έναν μαθηματικό ποια είναι η τιμή του αριθμού π. Ο μαθηματικός δήλωσε ότι δεν υπάρχει απάντηση διότι το π είναι ένας άρρητος αριθμός, τα δεκαδικά του ψηφία δηλαδή δεν τελειώνουν ποτέ και δεν υπάρχει ένα μόνιμο επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Στη συνέχεια αράδιασε μερικές άπειρες σειρές που σχετίζονται με τον αριθμό π, σπέρνοντας τον πανικό στους ερωτώντες. Υπενθύμισε ακόμα πως οι συνάδερφοι του έχουν υπολογίσει μέχρι σήμερα πάνω από 13 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π, και ότι υπολογισμός αυτός χρειάστηκε 208 μέρες για να ολοκληρωθεί.
Στη συνέχεια έκαναν την ίδια ερώτηση σε έναν φυσικό. Ο φυσικός απάντησε ότι μια καλή προσέγγιση στους υπολογισμούς που περιέχουν τον αριθμό π είναι η τιμή 3,14.
Στο τέλος ρώτησαν έναν μηχανικό. Κι εκείνος απάντησε με καθαρή συνείδηση:
– Περίπου 3

Άραγε, πόσα ψηφία του π χρησιμοποιεί η NASA στους υπολογισμούς της; Το ερώτημα αυτό τέθηκε στον Marc Rayman, τον επικεφαλή μηχανικό της αποστολής Dawn.

Σύμφωνα με τον Marc Rayman η NASA για την διαπλανητική πλοήγηση των διαστημοπλοίων της χρησιμοποιεί τα 15 πρώτα δεκαδικά ψηφία του π: 3.141592653589793


Πόσο ακριβείς είναι οι υπολογισμοί με αυτή την προσέγγιση; Η απάντηση δίνεται με 3 χαρακτηριστικά παραδείγματα:

  1. Το πιο απομακρυσμένο από τη Γη διαστημικό σκάφος είναι το Voyager 1. Βρίσκεται 20 τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα μακριά. Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο που έχει ως ακτίνα αυτή την απόσταση ή διάμετρο 40 τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Ποιο είναι το μήκος της περιφέρειας αυτού του κύκλου; Πολλαπλασιάζοντας την διάμετρο του κύκλου επί τον αριθμό π στρογγυλοποιημένο στο 15ο ψηφίο, όπως γράφεται πιο πάνω, η τιμή της διαμέτρου που θα προκύψει θα έχει απόκλιση από την τιμή που θα προέκυπτε, αν μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε με την ακριβή τιμή του π, μόλις 4 εκατοστά! Με λίγα λόγια το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου με διάμετρο 40 τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα θα ήταν λάθος κατά 4 εκατοστά, όσο το μήκος του μικρού δακτύλου σας.

  1. Η διάμετρος της Γης είναι 12750 χιλιόμετρα. Το σφάλμα που προκύπτει όταν υπολογίζουμε το μήκος της περιφέρειας του κύκλου με αυτή τη διάμετρο χρησιμοποιώντας μόνο τα 15 πρώτα δεκαδικά ψηφία του π, ισούται περίπου με τη διάμετρο ενός μικρού μορίου!
  2. Κι ένα τερατώδες παράδειγμα: αν θεωρήσουμε ότι η ακτίνα ενός Ευκλείδειου σύμπαντος είναι 46 δισεκατομμύρια έτη φωτός, τότε πόσα ψηφία του π πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε την περιφέρεια του κύκλου με ακτίνα 46 δισεκατομμύρια έτη φωτός με σφάλμα όσο η διάμετρος του ατόμου του υδρογόνου; Η απάντηση είναι ότι χρειάζονται μόνο 39 ή 40 δεκαδικά ψηφία του π !

Πότε οι μαθηματικοί υπολόγισαν για πρώτη φορά τα 15 πρώτα ψηφία του π, που χρησιμοποιεί η NASA στους υπολογισμούς της;

Πριν από 423 χρόνια. Το 1593 ο Ολλανδός μαθηματικός Adrianus Romanus κατάφερε να υπολογίσει για πρώτη φορά τα 15 δεκαδικά ψηφία του π, χρησιμοποιώντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο που είχε πάνω από 100 εκατομμύρια πλευρές!

Τρίτη, 5 Απριλίου 2016

Συνέχεια αντίστροφης συνάρτησης

 Η παραπάνω απόδειξη βρίσκεται στο βιβλίο "Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης" που κυκλοφόρησε το 2000 από τον Εκδοτικό Όμιλο Συγγραφέων Καθηγητών και στο οποίο δίνονταν οι απαντήσεις στις ερωτήσεις αξιολόγησης των εκδόσεων του Κ.Ε.Ε.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...