Παρασκευή, 21 Ιουνίου 2013

Υπολογισμός μορίων



Υπολογισμός Μορίων
--> --> *Να χρησιμοποιήσετε στα δεκαδικά ψηφία τελεία(.) και όχι κόμμα(,).* 

Επιλέξτε Κατεύθυνση
*Στη δεκαδική μορφή χρησιμοποιήστε την τελεία ως υποδιαστολή
ΜΑΘΗΜΑΤΑ:
Προφορικός
1ου Τετρ.
Προφορικός
2ου Τετρ.
Γραπτός
Βαθμός
Βαθμός
Πρόσβασης
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΓΕΝΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ
ΕΙΔΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ (εφόσον υπάρχει)
ΤΕΛΙΚΑ ΜΟΡΙΑ
1ο Επιστημονικό Πεδίο - Ανθρωπιστικές Επιστήμες
2ο Επιστημονικό Πεδίο - Θετικές Επιστήμες
3ο Επιστημονικό Πεδίο - Επιστήμες Υγείας
4ο Επιστημονικό Πεδίο - Τεχνολογικές Επιστήμες
5ο Επιστημονικό Πεδίο - Επιστήμες Οικονομίας και Διοίκησης

Δευτέρα, 17 Ιουνίου 2013

H "δίκαιη κούπα" του Πυθαγόρα



Η «κούπα του Πυθαγόρα» ή η «δίκαιη κούπα» είναι μια ανακάλυψη του Πυθαγόρα για να πίνει με μέτρο το κρασί του αλλά και για να σερβίρει τους μαθητές του, υπερτονίζοντας την έννοια του μέτρου και των ορίων. Η ιδέα του Πυθαγόρα ήταν απλή: Έπρεπε να περιοριστεί η απληστία στο ποτό! Πώς θα γινόταν αυτό; Το πήλινο ποτήρι αδειάζει κατά έναν «μαγικό» τρόπο όταν εκείνος που το κρατάει αποδειχτεί… πλεονέκτης και το γεμίσει περισσότερο απ’ όσο πρέπει.

Στην κούπα υπάρχει χαραγμένο ένα όριο, μια γραμμή. Αν το υγρό που περιέχει δεν υπερβεί τη γραμμή αυτή, ο πότης απολαμβάνει το κρασί του. Εάν, όμως, ξεπεράσει τη γραμμή του ορίου, τότε η κούπα αδειάζει και το κρασί χύνεται από τη βάση. Αδειάζει όλη η κούπα, όχι μόνο η επιπλέον ποσότητα. Πως όμως γίνεται αυτό; Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα που οδηγεί στο κάτω μέρος της. Ενώ η κούπα γεμίζει, η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης, ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία. Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας «δεν τρέχει τίποτα».



Μόλις όμως το υγρό υπερβεί τη γραμμή-όριο τότε αρχίζει να ρέει μέσω του εσωτερικού σωλήνα από τη βάση της κούπας. Τα μόρια του υγρού παρασύρουν το ένα το άλλο με αποτέλεσμα, ωε δια μαγείας, η κούπα να αδειάζει παντελώς!
Αυτό, πέρα από μια απλή εφαρμογή της υδραυλικής, αποτελεί και έναν τρόπο διδαχής: Όταν το όριο ξεπερνιέται (ύβρις) δεν χάνονται μόνον όσα έχουν ξεπεράσει το όριο αλλά και όλα τα προηγούμενα που είχαν αποκτηθεί (νέμεσις). Το άριστο οφείλουμε να το απολαμβάνουμε με μέτρο, σαν τον οίνο που ήδη έχουμε στην κούπα μας, αντλώντας τη μέγιστη ωφέλεια χωρίς να επιζητούμε παραπάνω!


Πηγή: perierga.gr

Δευτέρα, 3 Ιουνίου 2013

Nicolas Bourbaki, ένας κορυφαίος μαθηματικός...που δεν υπήρξε ποτέ!!

Συγκέντρωση των Bourbaki το 1938
 Τα χρόνια μετά τον δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο κυκλοφόρησε μια σειρά μαθηματικών βιβλίων με τίτλο «Eléments de mathématique» , συγγραφέας ήταν ο Nicola Bourbaki (Μπουρμπακί). Τα βιβλία του ανέπτυσσαν με μοναδικό τρόπο την μαθηματική γνώση της εποχής τόσο στα εφαρμοσμένα όσο και στα  θεωρητικά μαθηματικά   αποτελώντας  πρότυπο αυστηρότητας και ακρίβειας. Ένας σύγχρονος Ευκλείδης που συγκέντρωνε στα βιβλία του την υπάρχουσα μαθηματική γνώση  τοποθετώντας την, όμως, σε αυστηρά πλαίσια. Έτσι σύντομα  τα βιβλία απέκτησαν μεγάλη φήμη  και αποτέλεσαν  πρότυπο για τα μετέπειτα μαθηματικά εγχειρίδια . Ο Μπουρμπακί δημιούργησε νέους συμβολισμούς και εισήγαγε αυστηρούς ορισμούς. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που κυκλοφορήσαν  σε πολλές γλώσσες  και έκαναν πολλαπλές εκδόσεις.  Ένας μαθηματικός άθλος από το Νικολά Μπουρμπακι ο  οποίος όμως δεν... υπήρξε ποτέ .

 Ο Αμερικανός μαθηματικός , Ralph Boas στο βιβλίο του A Collection of Mathematics, Verse, and Stories» αφηγείται :

  Στις αρχές της δεκαετίες του 1950 ο Νικολά Μπουρμπακί υπέβαλε αίτηση για εγγραφή στην «Αμερικάνικη Μαθηματική Εταιρία» (AMS). Η Γραμματεία της εταιρίας απέρριψε την αίτηση και παρέπεμψε σε ένα άρθρο της «Encyclopedia Britannica», σύμφωνα με το οποίο δεν υφίσταται Μαθηματικός με το όνομα Νικολά Μπουρμπακί. Εξοργισμένος γράφει ο Νικολά στον εκδότη της Εγκυκλοπαίδειας, Walter Yust, ότι είναι απαράδεκτο να ισχυρίζεται στην εγκυκλοπαίδειά του ότι είναι ανυπόστατος, τη στιγμή που είναι σε θέση να συγγράφει βιβλία και να του απευθύνει επιστολές.
  
 Ο Yust παρέπεμψε την επιστολή στον συγγραφέα του συγκεκριμένου άρθρου της Encyclopedia, Ralph Boas, με την παράκληση για διαλεύκανση του ζητήματος. Ο Boas, καθηγητής Μαθηματικών στο Northwestern University αντέδρασε ψύχραιμα. Ο Μπουρμπακί άρχισε, αντίθετα με τη φήμη του, απάντησε ο Boas, να συμπεριφέρεται με ανακρίβεια. Αγγίζει τα όρια του φαιδρού ένα γράμμα που έλαβε ο Boas  στο οποίο η αρχική φράση  ήταν: « Από το μοναστήρι μου στα Ιμαλάια». Ξεκινούσε ως εξής : «Άθλιο σκουλήκι , πως τολμάς να λες ότι δεν υπάρχω;» Η υπογραφή ήταν του Νικολα Μπουρμπακί…

 «Δεν ισχυρίστηκα», έγραψε ο Boas, ότι είναι ανύπαρκτος, αλλά μόνο ότι δεν προσωποποιείται.
Ο Boas δεν έκανε λάθος : τον μαθηματικό Μπουρμπακί αυτοπροσώπως, δεν τον έχει συναντήσει κανείς, δεν υπάρχουν φωτογραφίες και χειρόγραφά του, δεν έχει γεννηθεί βιολογικά και, κατά συνέπεια, δεν θα πεθάνει ποτέ. Ο Νικολά Μπουρμπακί δεν ήταν ένα πρόσωπο, αλλά μια ομάδα Γάλλων Μαθηματικών, οι οποίοι ξεκίνησαν το έτος 1934 στα καφενεία του Quartier Latin να συζητούν για μια θεμελιωμένη με κάθε λεπτομέρεια και με απόλυτη συνέπεια «Μαθηματική Ανάλυση». Κεντρικοί επινοητές του εγχειρήματος ήταν οι μαθηματικοί Andre Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Selsart και Jean Dieudonne, οι οποίοι είχαν αποφοιτήσει εκείνα τα χρόνια από την École Normale Supérieure και δίδασκαν ως νέοι καθηγητές σε επαρχιακά πανεπιστήμια της Γαλλίας.

 Το όνομα δόθηκε στην ομάδα, κατά μία εκδοχή, τυχαία από τον Andre Weil, ο οποίος πηγαίνοντας καθημερινά στο πανεπιστήμιο της Nancy, πέρναγε μπροστά από τον ανδριάντα του στρατηγού Charles Denis Bourbaki (1816-1897)( ο στρατηγός είχε ελληνικές ρίζες ο πατέρας του ήταν ο συνταγματάρχης Κωνσταντίνος Βούρβαχης ), ο οποίος είχε διακριθεί στο γαλλο-γερμανικό πόλεμο 1870.

Οι Μαθηματικοί του Μπουρμπακί, οι οποίοι αποτέλεσαν αργότερα την αφρόκρεμα  της μαθηματικής επιστήμης, θεωρούσαν ότι τα τότε διαθέσιμα πανεπιστημιακά βιβλία χαρακτηρίζονταν από ασυνεπή ανάπτυξη των θεμάτων τους. Οι ίδιοι παρακολουθούσαν με ενδιαφέρον τη συγκρότηση των «νέων μαθηματικών» των γερμανικών πανεπιστημίων του Göttingen και του Αμβούργου, όπου είχαν σπουδάσει μερικά από τα μέλη της ομάδας. Οι πρωτοπόροι του εγχειρήματος πλαισιώθηκαν από άλλους επίσης σημαντικούς Μαθηματικούς, όπως οι Szolem Mandelbrojt, Laurent Schwartz, Samuel Eilenberg, Jean Leray, Jean-Pierre Serre κ.ά. 

Bourbaki

Αυτό το επιτελείο Μαθηματικών υπολόγιζε να έχει έτοιμο το πρώτο βιβλίο σε τρία χρόνια. Τα γεγονότα εξελίχθηκαν όμως διαφορετικά: σε τέσσερα χρόνια είχε ετοιμαστεί μόλις το πρώτο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου! Στόχος του Μπουρμπακί δεν ήταν να δημιουργήσει νέα μαθηματική γνώση, αλλά να παραθέσει εκ νέου τις υπάρχουσες γνώσεις και να τις εντάξει σε ένα πλαίσιο αυστηρών μαθηματικών συσχετισμών. Ως πρότυπο χρησίμευσε η αξιωματική παρουσίαση της «Θεωρίας Συνόλων» του κύκλου γύρω από τον Γερμανό Μαθηματικό David Hilbert, η οποία Θεωρία αντιμετωπιζόταν τότε ως ένα από τα πιο αποδοτικά εργαλεία της μαθηματικής επιστήμης.
  
 Ο Μπουρμπακί δημιούργησε νέους συμβολισμούς και εισήγαγε αυστηρούς ορισμούς, αναπτύσσοντας τα μαθηματικά θέματα απαγωγικά, από το γενικό στο ειδικό. Καμιά αναφορά δεν ήταν επιτρεπτή στα βιβλία, εφόσον δεν προέκυπτε από κάποια προγενέστερη, επίσης τεκμηριωμένη αναφορά. Έτσι δεν υπήρχε καμία παραπομπή σε άλλα βιβλία ή σε δημοσιευμένες εργασίες, αφού τα πάντα υπήρχαν στους εισαγωγικούς τόμους της σειράς. Βασική συμφωνία για τη λειτουργία της ομάδας ήταν η ανωνυμία και η δημοσίευση των βιβλίων υπό το κοινό ψευδώνυμο Nicolas Bourbaki. 

 Τα μέλη της επιτροπής δεν έγιναν γνωστά για πολλά χρόνια και μόνο όταν μερικά από αυτά έφτασαν σε μεγάλη ηλικία, άρχισαν να μιλάνε και να γράφουν για την ιστορία της ομάδας. Έτσι φάνηκε ότι κεντρικό πρόσωπο και κινητήρια δύναμη της προσπάθειας και τελικός «διορθωτής» της σειράς υπήρξε ο γνωστός μαθηματικός Jean Dieudonne . Στις συναντήσεις τους συζητούσαν τα μέλη της ομάδας με έντονες αντιπαραθέσεις το περιεχόμενο των επιμέρους κεφαλαίων που έπρεπε να συγγραφούν και κατένειμαν τις επιμέρους εργασίες που έπρεπε να γίνουν. Στην αμέσως επόμενη συνάντησή τους σχεδόν κανείς δεν είχε τηρήσει τα συμφωνημένα, αλλά είχε αναπτύξει το αντικείμενο που ανέλαβε με δικό του τρόπο σε άλλες κατευθύνσεις, οπότε άρχιζαν εκ νέου οι συζητήσεις και αντιδικίες για το «πρέπον» και το «ορθόν». Κάθε κεφάλαιο των βιβλίων του Μπουρμπακί είχε υποστεί 8 με 10 αναδομήσεις και η διάρκεια συγγραφής κάθε τόμου εκτεινόταν από 8 μέχρι 12 χρόνια.

 Το έτος 1939 είχαν συγγραφεί οι πρώτοι 10 (από τους τελικά 40) τόμοι, οι οποίοι κυκλοφόρησαν σε 6 βιβλία.

  Ο Ντιοντονέ δημοσίευσε ανεξάρτητα από την ομάδα Μπουρμπακί δύο βιβλία για την Ιστορία των μαθηματικών με τίτλους «Eléments d'histoire de mathématique» (1960, 1969) και «Panorama of pure mathematics as seen by Bourbaki», 1982. Με την πάροδο των δεκαετιών επήλθε μοιραία η παρακμή, αφενός λόγω της απολίθωσης μεθόδων και συνηθειών, αφετέρου επειδή άλλαξαν οι ανάγκες και οι στόχοι της μαθηματικής επιστήμης. Το μέλος της ομάδας Pierre Cartier είχε δηλώσει ότι ο Μπουρμπακί είχε την τύχη των δεινοσαύρων, «η ουρά του απείχε κάποια στιγμή πολύ από το κεφάλι του».

 Ένα μεθοδολογικό πρόβλημα που δυσκόλεψε ή απέτρεψε τη δημιουργική εξέλιξη του εγχειρήματος ήταν η επιμονή σε άκαμπτους ορισμούς και συμβολισμούς, με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατόν να συμπεριληφθούν στο αρχικό σχέδιο νεότερες εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης. Σημαντικό οργανωτικό πρόβλημα προέκυψε, όταν αποχώρησε από την ομάδα ο Ντιοντονέ, μάλλον ο μόνος που είχε διατηρήσει την εποπτεία του τεράστιου εγχειρήματος. Και, επιπλέον, στα τέλη της δεκαετίας του 1970, διαφωνίες με τον εκδοτικό οίκο κατέληξαν σε δικαστικές διενέξεις, οι οποίες δεν ήταν εύκολο να αντιμετωπιστούν από ακαδημαϊκούς. 


Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...