Μαθηματικά και ουρές αναμονής.

Η θεωρία των ουρών αναμονής έχει σαν αντικείμενο την ανάλυση και τη μελέτη των καταστάσεων κατά τις οποίες οι "μονάδες", αναφερόμενες συνήθως ως "πελάτες", προσέρχονται με τυχαίο τρόπο προς εξυπηρέτηση σε ένα "σύστημα εξυπηρετήσεως" αποτελούμενο από ένα ή περισσότερους σταθμούς παροχής της συγκεκριμένης υπηρεσίας. Πρόκειται για έναν τομέα των μαθηματικών με μεγάλο πεδίο εφαρμογών στην καθημερινότητα (συχνά αλλάζουμε μέσο μεταφοράς γιατί η αναμονή στο ένα είναι μικρότερη από το άλλο ή επιλέγουμε την ώρα που το πολυκατάστημα έχει λιγότερη ουρά στα ταμεία ή αλλάζουμε τράπεζα για ταχύτερη εξυπηρέτηση) και αποτελεί μια από τις μεθόδους της "Επιχειρησιακής Έρευνας", μάθημα που διδάσκεται στα τμήματα των μαθηματικών και κάποιων οικονομικών σχολών.

Η πρώτη μαθηματική εξέταση ενός συστήματος με ουρές (ή γραμμές) αναμονής έγινε από το Δανό μηχανικό Α.Κ.Erlang γύρω στο 1920, με τις εργασίες του να αναφέρονται στα φαινόμενα αναμονής που παρατηρούνται στις γραμμές ενός τηλεφωνικού κέντρου. Μερικοί άλλοι από τους πρωτοπόρους ερευνητές στον τομέα των ουρών αναμονής είναι οι: Fry(1928), Pollaczek(1930), Palm(1943) και Kendall(1951). Η δραστηριότητα των παραπάνω ερευνητών παρακίνησε ένα ζωηρό ενδιαφέρον για τη θεωρία των ουρών αναμονής, ως ενός αποτελεσματικού μέσου για την περιγραφή της συμπεριφοράς ενός μεγάλου αριθμού φαινόμενων, όπως αυτά που παρατηρούνται: στις τηλεφωνικές γραμμές, στα ταμεία μεγάλων καταστημάτων, στα συνεργεία επισκευής βλαβών και αλλού.

Γενικά τα προβλήματα ουρών εμφανίζονται οπουδήποτε υπάρχει κίνηση ή διεκπεραίωση αντικειμένων ή ανθρώπων (οχημάτων, εγγράφων, πακέτων, θεατών, ηλεκτρικών σημάτων, υγρών στη μηχανική κ.ά.)

Η δομή ενός γενικού προβλήματος αναμονής απεικονίζεται με τη βοήθεια του επόμενου διαγράμματος:

Οι πελάτες (μονάδες) που ζητούν μια εξυπηρέτηση ξεκινούν από κάποια πηγή και προστίθενται στην ουρά του συστήματος αναμονής, του οποίου οι σταθμοί εξυπηρετήσεως προσφέρουν τη συγκεκριμένη υπηρεσία σύμφωνα με ένα νόμο προτεραιότητας, γνωστό ως πειθαρχία ουράς. Ο επιλεγόμενος πελάτης αφού εξυπηρετηθεί από το σύστημα εξυπηρετήσεως, αναχωρεί από το σύστημα επιστρέφοντας ή όχι στην πηγή του.

Χαρακτηριστικά των συστημάτων αναμονής

1) Πηγή
H πηγή από την οποία προέρχονται οι πελάτες που ζητούν μια εξυπηρέτηση μπορεί να είναι πεπερασμένης ή απεριόριστης χωρητικότητας. Σε όλα τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου ο συνολικός αριθμός των πελατών που ξεκινούν από μια πηγή και ζητούν εξυπηρέτηση από κάποιο σύστημα είναι πεπερασμένος. Στην πράξη, αν το μέγεθος του πληθυσμού είναι αρκετά μεγάλο η πηγή θεωρείται ότι έχει απεριόριστη χωρητικότητα. Η υπόθεση αυτή είναι πολύ χρήσιμη στη θεωρία, αφού η ανάλυση του συστήματος είναι ευκολότερη στην περίπτωση που η πηγή διαθέτει απεριόριστη χωρητικότητα. Η βασική διαφορά μεταξύ πεπερασμένων και μη πηγών έγκειται στο γεγονός ότι οι πελάτες μετά την εξυπηρέτηση τους μπορεί να επιστρέφουν ή όχι στην πηγή προελεύσεως, χωρίς αυτό να μεταβάλει τον ρυθμό με τον οποίο η πηγή τροφοδοτεί την ουρά αναμονής. Να σημειωθεί ότι η πηγή αποτελεί εξωτερικό στοιχείο του συστήματος αναμονής.

2) Διαδικασία εισόδου
Η διαδικασία εισόδου στο σύστημα αναμονής χαρακτηρίζεται, είτε από την κατανομή του αριθμού των αφικνούμενων πελατών στο χρονικό διάστημα (0,t) , είτε από την κατανομή των χρονικών διαστημάτων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Στο κομμάτι αυτό της θεωρίας των ουρών αναμονής η συμβολή των μαθηματικών είναι καταλυτική. Έχουμε μεταβλητές πληθυσμών, οπότε γνώσεις  και τύποι Στατιστικής και Πιθανοτήτων είναι απαραίτητοι (κανονικές κατανομές, κατανομές Poisson, συναρτήσεις πιθανοτήτων, στοχαστικές ανελίξεις κ.α.). Επίσης χρειαζόμαστε καλή γνώση διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, αφού θα χρειαστούμε μέγιστα, ελάχιστα, ορισμένα ολοκληρώματα, όρια κ.ά.

3) Μηχανισμός εξυπηρέτησης
Ο μηχανισμός εξυπηρέτησης πελατών σε ένα σύστημα αναμονής διακρίνεται από τη διαθεσιμότητα, τη χωρητικότητα και την κατανομή των εξυπηρετήσεων.

Ο μηχανισμός εξυπηρετήσεως μπορεί άλλοτε να είναι διαθέσιμος και άλλοτε όχι. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια προγραμματισμένης συντήρησης των κυκλωμάτων και των λειτουργικών των προγραμμάτων, ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής δεν είναι διαθέσιμος στους χρήστες. Το ίδιο συμβαίνει και σε περιπτώσεις βλάβης του υπολογιστή, μόνο που τότε το γεγονός της μη διαθεσιμότητας είναι τυχαίο.

Ως χωρητικότητα του μηχανισμού εξυπηρετήσεως ορίζεται συνήθως ο αριθμός των πελατών που μπορούν να εξυπηρετούνται ταυτόχρονα. Έτσι ο μηχανισμός εξυπηρετήσεως μπορεί να περιλαμβάνει έναν ή περισσότερους σταθμούς εξυπηρετήσεως.

Τέλος η κατανομή των εξυπηρετήσεων μπορεί να εκφράζεται, είτε από την κατανομή του αριθμού των εξυπηρετούμενων πελατών στο χρονικό διάστημα (0,t) , είτε από την κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης (πολλά μαθηματικά και εδώ).

4) Νόμος επιλογής πελατών
Ο νόμος αυτός καθορίζει την σειρά με την οποία λαμβάνονται οι πελάτες από την ουρά αναμονής προς εξυπηρέτηση. Η επιλογή του προς εξυπηρέτηση πελάτη γίνεται, συνήθως, σύμφωνα με έναν από τους επόμενους κανόνες:
α) Πρώτος αφικνούμενος - Πρώτος εξυπηρετούμενος (FCFS,  First Come, First Served)
β) Τελευταίος αφικνούμενος - Πρώτος εξυπηρετούμενος ( LCFS, Last Come, First Served)
γ) Κατά τυχαίο τρόπο (SIRO, Service In Random Order)
δ) Με βάση κάποιο σύστημα βαθμών προτεραιότητας (PS, Priority Selection)

Πηγή: Επιχειρησιακή Έρευνα και Στοχαστικά Συστήματα - Χαράλαμπος Μπότσαρης